MT803C - Tópicos em Matemática Aplicada
Geometria dos Números



O objetivo desta disciplina é oferecer uma introdução à Geometria dos Números, uma área de pesquisa cujo interesse foi renovado recentemente devido a aplicações em Criptografia e Teoria de Códigos. Abaixo está uma ementa tentativa, mas a ideia é que novos assuntos sejam estudados conforme necessidade dos estudantes.

Ementa Tentativa:
  1. Corpos Convexos, Funções de Distância e Propriedades
  2. Matrizes Inteiras
  3. Reticulados Euclidianos
  4. Teoremas de Minkowski para corpos convexos e Aplicações (Teoremas dos dois quadrados e dos quatro quadrados)
  5. Formas quadráticas, Empacotamentos
  6. O Teorema de Minkowski-Hlawka
  7. Aplicações


Tentarei ao máximo redigir notas sobre os assuntos estudos e deixá-las disponíveis aqui. Entretanto algumas vezes será necessário consultar a biliografia. O roteiro proposto para a matéria é bem similar ao das notas [B3], do curso de Discrete Geometry da Texas A&M University, gentilmente cedidas pelo Prof. Lenny Fukshansky.

Projetos Finais

Haverá um hiato nas aulas expositivas de 31/10 até 20/11 para que os alunos possam preparar os trabalhos finais.

Lista dos projetos finais escolhidos por cada aluno e datas das apresentações (**).
(**) Cada apresentação terá duração de 1 hora, a primeira delas iniciando às 14 horas.
Haverá um intervalo de 15 minutos entre as apresentações, com coffee break provido pelos palestrantes.

21/11 - (Resumos)
Criptografia Baseada em Reticulados - Maiara Bollauf (Material Suplementar)
Provas alternativas para o Teorema de Ehrhart e Teorema de Pick - Matheus Bernardini (Material Suplementar)


28/11 - (Resumos)
Matrizes Unimodulares Retangulares - Julianna Pinele
Teorema de Witt e Reticulados Raízes - Rafael Gregório

5/12 - (Resumos)
Projeções de reticulados - Eleonésio Strey (Material Suplementar)
Séries theta - Giselle Strey (Material Suplementar)

12/2 - (Resumo)
Transformada de Fourier e Teoremas de Transferência - Jerry Pinheiro

Calendário/Tópicos Estudados

Data Tópico Arquivo
05/09 Corpos Convexos e Funções de Distância convexos.pdf
13/09 Não Houve Aula
15/09 Matrizes Inteiras (Decomposição de Hermite/Smith) matrizes_inteiras.pdf
26/09 Teoremas de Minkowski/Enumerador de Pontos Inteiros teoremas_Minkowski.pdf
02/10 Reticulados Euclidianos e Propriedades
09/10 (Cont. Reticulados. Soma de Quadrados) reticulados.pdf
11/10 Formas Quadráticas e Redução de Base base.pdf
17/10 Teoremas de Mahler e Minkowski-Hlawka ver ultimo capítulo de [S2] (e para as demonstrações faltantes, Cap. 3.19 de [B1])
21/10 Conexões com Teoria dos Números (Funções mu e zeta)

Bibliografia

Bibliografia básica:

[B1] P. M. Gruber and C. G. Lekkerkerker. Geometry of Numbers. North-Holland, 1987.
[B2] J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer-Verlag, 1997
[B3] Notas de Aula Discrete Geometry, Prof. Lenny Fukshansky. Disponíveis aqui.

Bibliografia suplementar:
[S1] J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere-packings, lattices, and groups. Springer-Verlag, New York, NY, USA, 1998.
[S2] L. R. B. Naves, A densidade de empacotamentos esféricos em reticulados, Dissertação de Mestrado, IMECC - UNICAMP